Упр.27.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству |x| < 4; a) 4 sin2 х + sin2 2х = 3; б) 4 cos2 2х + 8 cos2 x = 7.

а) $$4\sin^2 x+\sin^2 2x=3.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$4\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=3.$$

Вынесем $$4\sin^2 x$$ за скобки:

$$4\sin^2 x(1+\cos^2 x)=3.$$

Так как $$1+\cos^2 x\le 2$$, удобно проверить стандартное преобразование через $$\sin^2 2x=1-\cos^2 2x$$:

$$4\sin^2 x+\sin^2 2x=3 \;\Longrightarrow\; 4\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=3.$$

Поскольку $$\sin^2 x+\sin^2 x\cos^2 x=\sin^2 x(1+\cos^2 x),$$ получаем, что равенство выполняется при $$\sin^2 x=1.$$

Тогда

$$\sin x=\pm 1,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$|x|<4$$ получаем:

$$x\in\left\{-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}.$$

б) $$4\cos^2 2x+8\cos^2 x=7.$$

Преобразуем $$\cos^2 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$4(2\cos^2 x-1)+8\cos^2 x=7.$$

$$16\cos^2 x=11,$$

$$\cos^2 x=\frac{11}{16}.$$

Значит,

$$\cos x=\pm \frac{\sqrt{11}}{4}.$$

Тогда общее решение:

$$x=\pm \arccos\frac{\sqrt{11}}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$|x|<4$$ оставляем значения, попадающие в этот промежуток:

$$x=\pm \arccos\frac{\sqrt{11}}{4},\quad 2\pi-\arccos\frac{\sqrt{11}}{4},\quad -2\pi+\arccos\frac{\sqrt{11}}{4}.$$

Ответ

а) $$x\in\left\{-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\};$$ б) $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt{11}}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\ |x|<4.$$