Упр.27.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin2 2x= 1; б) cos2 (3x — пи/4) = 3/4; в) sin2 (2x — пи/6) = 3/4; г) cos2 (3x + пи/3) = 1.

1. а)

   $$1-\cos x=2\sin \frac{x}{2}$$
   $$2\sin^2 \frac{x}{2}=2\sin \frac{x}{2}$$
   $$2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-1\right)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n,$$
   $$\sin \frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\pi+4\pi n.$$

2. б)

   $$1-\cos x=\sin x\cdot \sin \frac{x}{2}$$
   $$2\sin^2 \frac{x}{2}=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}$$
   $$2\sin^2 \frac{x}{2}=2\sin^2 \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$$
   $$\sin^2 \frac{x}{2}\left(1-\cos \frac{x}{2}\right)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin \frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=2\pi n,$$
   $$\cos \frac{x}{2}=1 \Rightarrow x=4\pi n.$$

   Так как $$x=4\pi n$$ входит в множество $$x=2\pi n$$, получаем:

   $$x=2\pi n.$$

3. в)

   $$1+\cos x=2\cos \frac{x}{2}$$
   $$2\cos^2 \frac{x}{2}=2\cos \frac{x}{2}$$
   $$2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-1\right)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n,$$
   $$\cos \frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi n \Rightarrow x=4\pi n.$$

4. г)

   $$\sin x=\tg^2 \frac{x}{2}\,(1+\cos x)$$
   $$\sin x=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}(1+\cos x)$$
   $$\sin x=1-\cos x$$
   $$\sin x+\cos x=1$$
   $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
   $$\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Тогда

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ \pi+4\pi n;$$
б) $$x=2\pi n;$$
в) $$x=\pi+2\pi n,\ 4\pi n;$$
г) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$