Упр.27.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение a) 1 — cos x = 2sin x/2; б) 1 — cos x = sin x sin x/2; в) 1 + cos x = 2cos x/2; г) sin x = tg2 x/2 (1 + cos x).

1. а)

   $$2\cos^2 x-\sin 2x=(\cos x-\sin x)^2,$$
   так как
   $$2\cos^2 x-\sin 2x=2\cos^2 x-2\sin x\cos x.$$
   Тогда
   $$ 2\cos^2 x-2\sin x\cos x=\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x, $$
   откуда
   $$ 2\cos^2 x=1. $$
   Значит,
   $$ \cos^2 x=\frac12,\qquad \sin^2 x=\frac12,\qquad \sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}. $$
   Тогда
   $$ x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
   На промежутке $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};\,3\pi\right)$$ получаем:
   $$ x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4},\ \frac{11\pi}{4}. $$
   Итак, корней 7.

2. б)

   $$6\cos^2 x+\sin 2x=(\cos x+\sin x)^2+2,$$
   так как
   $$ 6\cos^2 x+\sin 2x=6\cos^2 x+2\sin x\cos x. $$
   Тогда
   $$ 6\cos^2 x+2\sin x\cos x=\cos^2 x+\sin^2 x+2\sin x\cos x+2, $$
   откуда
   $$ 6\cos^2 x=3. $$
   Значит,
   $$ 2\cos^2 x=1,\qquad \sin^2 x=\frac12,\qquad \sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}. $$
   Следовательно,
   $$ x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
   На промежутке $$x\in\left(-\pi;\,\frac{7\pi}{2}\right)$$ получаем:
   $$ x=-\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4},\ \frac{11\pi}{4},\ \frac{13\pi}{4}. $$
   Итак, корней 9.

Ответ

а) 7; б) 9.