Упр.27.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько корней имеет уравнение: a) (cos х — sin x) = 1 — 2sin 2x, на отрезке [20пи/9;28пи/9]; б) 2 cos2 (2х — пи/4) — 2sin2 (пи/4 — 2х), на отрезке [пи/2;3пи/2]

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(\cos x-\sin x\right)^2=1-2\sin 2x.$$

Раскроем квадрат:

$$\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x=1-2\sin 2x.$$

Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$ и $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$ получаем

$$1-\sin 2x=1-2\sin 2x,$$

откуда

$$\sin 2x=0.$$

Тогда

$$2x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Найдём значения на отрезке $$\left[\frac{20\pi}{9};\frac{28\pi}{9}\right].$$

$$\frac{20\pi}{9}\le \frac{\pi n}{2}\le \frac{28\pi}{9}$$

$$\frac{40}{9}\le n\le \frac{56}{9}.$$

Подходят $$n=5,6.$$ Значит, корней два:

$$x=\frac{5\pi}{2},\ \ 3\pi.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)+1=0.$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right),$$ то

$$2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+1=0.$$

Используем формулу $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t$$:

$$2\cos\left(4x-\frac{\pi}{2}\right)+1=0.$$

Так как $$\cos\left(4x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin 4x,$$ получаем

$$2\sin 4x+1=0,$$

то есть

$$\sin 4x=-\frac12.$$

Решения:

$$4x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad 4x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}\quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}.$$

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем четыре корня:

$$x=\frac{13\pi}{24},\ \frac{17\pi}{24},\ \frac{25\pi}{24},\ \frac{29\pi}{24}.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$4$$.