Упр.27.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 4 sin х + sin 2х = 0, х € [0; 2тс]; б) cos2 (3х + пи/4) — sin2 (3х + пи/4) + корень3 / 2 = О, х € [3пи/4;пи].

а) $$4\sin x+\sin 2x=0,\quad x\in[0;2\pi].$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$4\sin x+2\sin x\cos x=0$$
$$2\sin x(2+\cos x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2+\cos x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:

$$x=0,\ \pi,\ 2\pi.$$

2) $$\cos x=-2$$ — решений нет, так как $$\cos x\in[-1;1].$$

б) $$\cos^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt3}{2}=0,\quad x\in\left[\frac{3\pi}{4};\pi\right].$$

Применим формулу $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t$$:

$$\cos\left(2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\right)+\frac{\sqrt3}{2}=0$$
$$\cos\left(6x+\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\sqrt3}{2}=0.$$

Так как $$\cos\left(6x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin 6x,$$ получаем:

$$-\sin 6x+\frac{\sqrt3}{2}=0$$
$$\sin 6x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$6x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{6}.$$

Подбираем значения на отрезке $$\left[\frac{3\pi}{4};\pi\right]$$. Подходит

$$x=\frac{7\pi}{9}.$$

Ответ

а) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$;
б) $$\frac{7\pi}{9}.$$