Упр.27.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 3 sin 2х + cos 2х = 1; б) cos 4х + 2 sin 4х = 1.

а) $$3\sin 2x+\cos 2x=1$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$3\cdot 2\sin x\cos x+(\cos^2 x-\sin^2 x)=\cos^2 x+\sin^2 x$$
$$6\sin x\cos x-2\sin^2 x=0$$
$$2\sin x(3\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 3\cos x-\sin x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$3\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos 4x+2\sin 4x=1$$

Преобразуем левую часть:

$$\cos 4x=\cos^2 2x-\sin^2 2x,\qquad \sin 4x=2\sin 2x\cos 2x.$$

Тогда

$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+2\cdot 2\sin 2x\cos 2x=\sin^2 2x+\cos^2 2x$$
$$4\sin 2x\cos 2x-2\sin^2 2x=0$$
$$2\sin 2x(2\cos 2x-\sin 2x)=0.$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x-\sin 2x=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},$$ $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos 2x-\sin 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=2 \Rightarrow 2x=\arctg 2+\pi n,$$

$$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$