Упр.27.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения: a) cos x = (sin 22,5° cos 22,5°) / (cos2 67,5° — sin2 67,5°) б)sin x = (sin2 75° — cos2 75°) / (4sin 15° cos 15°).

Подробный ответ

а)

$$ \cos x=\frac{\sin 22{,}5^\circ\cdot \cos 22{,}5^\circ}{\cos^2 67{,}5^\circ-\sin^2 67{,}5^\circ} $$

Используем формулы:
$$ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. $$
Тогда
$$ \sin 22{,}5^\circ\cdot \cos 22{,}5^\circ=\frac12\sin 45^\circ, $$
а
$$ \cos^2 67{,}5^\circ-\sin^2 67{,}5^\circ=\cos 135^\circ. $$
Получаем
$$ \cos x=\frac{\frac12\sin 45^\circ}{\cos 135^\circ} =\frac{\frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{-\frac{\sqrt2}{2}} =-\frac12. $$
Значит,
$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb Z. $$
Наибольший отрицательный корень:
$$ x=-\frac{2\pi}{3}=-120^\circ. $$

б)

$$ \sin x=\frac{\sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ}{4\sin 15^\circ\cos 15^\circ} $$

Преобразуем числитель и знаменатель:
$$ \sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ=-(\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ)=-\cos 150^\circ, $$
$$ 4\sin 15^\circ\cos 15^\circ=2\cdot 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ=2\sin 30^\circ. $$
Тогда
$$ \sin x=\frac{-\cos 150^\circ}{2\sin 30^\circ}. $$
Так как
$$ \cos 150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac12, $$
то
$$ \sin x=\frac{-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)}{2\cdot \frac12} =\frac{\sqrt3}{2}. $$
Следовательно,
$$ x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in \mathbb Z. $$
Наибольший отрицательный корень:
$$ x=-\frac{4\pi}{3}=-240^\circ. $$