Упр.27.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) tg 75° / (1 — tg2 75°); б) 2tg 5пи/12 / (tg2 5пи/12 — 1).

а) Преобразуем выражение по формуле двойного угла:

$$ \frac{\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ} =\frac12\cdot \frac{2\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ} =\frac12 \tg 150^\circ. $$

Так как $$150^\circ=180^\circ-30^\circ,$$ то

$$ \tg 150^\circ=-\tg 30^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}. $$

Следовательно,

$$ \frac12 \tg 150^\circ=\frac12\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =-\frac{1}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}. $$

б) Аналогично:

$$ \frac{2\tg \frac{5\pi}{12}}{\tg^2 \frac{5\pi}{12}-1} =-\frac{2\tg \frac{5\pi}{12}}{1-\tg^2 \frac{5\pi}{12}} =-\tg \frac{5\pi}{6}. $$

Так как $$\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6},$$ то

$$ \tg \frac{5\pi}{6}=-\tg \frac{\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}. $$

Значит,

$$ -\tg \frac{5\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Ответ

а) $$-\frac{\sqrt{3}}{6}$$; б) $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$.