Упр.27.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 2 — cos 2х + 3sin х = 0; б) cos 6x — cos 3х — 2 = 0; в) 26sin х cos х — cos 4х + 7 = 0; г) sin4 х + cos4 х = sin x cos x.

а) $$2-\cos 2x+3\sin x=0$$

Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$ 2-(1-2\sin^2 x)+3\sin x=0 $$
$$ 2\sin^2 x+3\sin x+1=0 $$

Пусть $$y=\sin x$$, тогда

$$ 2y^2+3y+1=0 $$
$$ (2y+1)(y+1)=0 $$
$$ y=-\frac12 \text{ или } y=-1 $$

Тогда

$$ \sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n $$
$$ \sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n $$

б) $$\cos 6x-\cos 3x-2=0$$

Преобразуем $$\cos 6x=\cos 2\cdot 3x=2\cos^2 3x-1$$:

$$ 2\cos^2 3x-1-\cos 3x-2=0 $$
$$ 2\cos^2 3x-\cos 3x-3=0 $$

Пусть $$y=\cos 3x$$, тогда

$$ 2y^2-y-3=0 $$
$$ (2y-3)(y+1)=0 $$
$$ y=\frac32 \text{ или } y=-1 $$

Значение $$\frac32$$ не подходит, так как $$\cos 3x\in[-1;1]$$. Значит,

$$ \cos 3x=-1 \Rightarrow 3x=\pi+2\pi n $$
$$ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3} $$

в) $$26\sin x\cos x-\cos 4x+7=0$$

Используем формулы $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$ и $$\cos 4x=1-2\sin^2 2x$$:

$$ 13\sin 2x-(1-2\sin^2 2x)+7=0 $$
$$ 2\sin^2 2x+13\sin 2x+6=0 $$

Пусть $$y=\sin 2x$$, тогда

$$ 2y^2+13y+6=0 $$
$$ (2y+1)(y+6)=0 $$
$$ y=-\frac12 \text{ или } y=-6 $$

Значение $$-6$$ не подходит, так как $$\sin 2x\in[-1;1]$$. Поэтому

$$ \sin 2x=-\frac12 $$
$$ 2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n $$
$$ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} $$

г) $$\sin^4 x+\cos^4 x=\sin x\cos x$$

$$ (\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=\sin x\cos x $$
$$ 1-2\sin^2 x\cos^2 x=\sin x\cos x $$

Пусть $$t=\sin x\cos x$$. Тогда $$\sin^2 x\cos^2 x=t^2$$, и получаем

$$ 1-2t^2=t $$
$$ 2t^2+t-1=0 $$
$$ (2t-1)(t+1)=0 $$
$$ t=\frac12 \text{ или } t=-1 $$

Но $$\sin x\cos x\in\left[-\frac12;\frac12\right]$$, значит $$t=-1$$ не подходит. Тогда

$$ \sin x\cos x=\frac12 $$
$$ \sin 2x=1 $$
$$ 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n $$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.