Упр.27.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2пи]: a) cos 2х + 3 sin х = 1; б) sin2 х = -cos 2х; в) cos 2х = cos2 х; г) cos 2х = 2 sin2 х.
а) $$\cos 2x+3\sin x=1$$
Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x$$:
$$ 1-2\sin^2 x+3\sin x=1 $$
$$ 2\sin^2 x-3\sin x=0 $$
$$ \sin x(2\sin x-3)=0 $$Тогда
$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac{3}{2} $$
Значение $$\sin x=\frac{3}{2}$$ невозможно, значит остаётся
$$ \sin x=0 $$
$$ x=\pi n $$На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:
$$ x=0,\ \pi,\ 2\pi $$
б) $$\sin^2 x=-\cos 2x$$
Перенесём всё в одну сторону и подставим $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$ \sin^2 x+\cos 2x=0 $$
$$ \sin^2 x+\cos^2 x-\sin^2 x=0 $$
$$ \cos^2 x=0 $$
$$ \cos x=0 $$Тогда
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$
На отрезке $$[0;2\pi]$$:
$$ x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2} $$
в) $$\cos 2x=\cos^2 x$$
Подставим $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$ \cos^2 x-\sin^2 x=\cos^2 x $$
$$ \sin^2 x=0 $$
$$ \sin x=0 $$
$$ x=\pi n $$На отрезке $$[0;2\pi]$$:
$$ x=0,\ \pi,\ 2\pi $$
г) $$\cos 2x=2\sin^2 x$$
Подставим $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x$$:
$$ 1-2\sin^2 x=2\sin^2 x $$
$$ 4\sin^2 x=1 $$
$$ \sin^2 x=\frac14 $$
$$ \sin x=\pm \frac12 $$На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:
$$ x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6} $$
Ответ
а) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$;
б) $$\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$$;
в) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$;
г) $$\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$.
