Упр.27.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin х cos х = 1; б) sin 4х cos 4х = 1/2; в) cos2 x/3 — sin2 x/3 = 1/2; г) sin2 X — COS2 X = 1/2.

1. $$\sin x \cdot \cos x = 1$$

   Используем формулу $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$:

   $$\frac{1}{2}\sin 2x = 1$$

   $$\sin 2x = 2$$

   Но значение функции $$\sin 2x$$ не может быть больше $$1$$ по модулю, значит, корней нет.

2. $$\sin 4x \cdot \cos 4x = \frac{1}{2}$$

   Умножим обе части на $$2$$:

   $$2\sin 4x \cos 4x = 1$$

   $$\sin 8x = 1$$

   Тогда

   $$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

   $$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4},\quad n \in \mathbb{Z}$$

3. $$\cos^2 \frac{x}{3} — \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$$

   По формуле $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha$$ получаем:

   $$\cos \frac{2x}{3} = \frac{1}{2}$$

   Тогда

   $$\frac{2x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

   $$x = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

4. $$\sin^2 x — \cos^2 x = \frac{1}{2}$$

   Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$-1$$:

   $$\cos^2 x — \sin^2 x = -\frac{1}{2}$$

   $$\cos 2x = -\frac{1}{2}$$

   Тогда

   $$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

   $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ

а) корней нет; б) $$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4},\ n \in \mathbb{Z}$$; в) $$x = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$; г) $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$.