Упр.27.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin 2х — 2 cos х = 0; б) 2 sin x = sin 2х; в) sin 2х — sin х = 0; г) sin 2х — cos х = 0.
а)
$$\sin 2x-2\cos x=0$$
$$2\sin x\cos x-2\cos x=0$$
$$2\cos x(\sin x-1)=0$$Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
$$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$Второе множество входит в первое, поэтому
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$б)
$$2\sin x=\sin 2x$$
$$2\sin x-2\sin x\cos x=0$$
$$2\sin x(1-\cos x)=0$$Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$Так как $$2\pi n$$ входит в множество $$\pi n$$, получаем
$$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$в)
$$\sin 2x-\sin x=0$$
$$2\sin x\cos x-\sin x=0$$
$$\sin x(2\cos x-1)=0$$Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
$$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$Следовательно,
$$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$г)
$$\sin 2x-\cos x=0$$
$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$
$$\cos x(2\sin x-1)=0$$Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0.$$$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
$$2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$Значит,
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ \ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ \ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
