Упр.27.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что t = arccos 3/5, вычислите sin t/2, cos t/2, tg t/2; б) зная, что t = arctg (-3/4), вычислите sin t/2, cos t/2, tg t/2; в) зная, что t = arcsin (-5/13), вычислите sin t/2, cos t/2, tg t/2; г) зная, что t = arcctg 12-5, вычислите sin t/2, cos t/2, tg t/2.

1. а) $$t=\arccos \frac{3}{5}$$

   Так как $$t \in \left[0;\pi\right]$$, то $$\frac{t}{2} \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$, значит, значения $$\sin \frac{t}{2}$$ и $$\cos \frac{t}{2}$$ положительны.

   $$\cos t=\frac{3}{5}$$
   $$ \sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} $$
   $$ \cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5} $$
   $$ \tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{1}{2} $$

2. б) $$t=\arctg\left(-\frac{3}{4}\right)$$

   Так как $$t \in \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ и $$\tg t<0$$, то $$t \in \left(-\frac{\pi}{2};0\right)$$, а значит, $$\frac{t}{2} \in \left(-\frac{\pi}{4};0\right)$$. Поэтому $$\sin \frac{t}{2}<0$$, $$\cos \frac{t}{2}>0$$.

   $$\tg t=-\frac{3}{4}$$
   $$ \cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=\frac{4}{5} $$
   $$ \sin \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10} $$
   $$ \cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10} $$
   $$ \tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{-\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}=-\frac{1}{3} $$

3. в) $$t=\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$$

   Так как $$t \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ и $$\sin t<0$$, то $$t \in \left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$, а значит, $$\frac{t}{2} \in \left[-\frac{\pi}{4};0\right]$$. Следовательно, $$\sin \frac{t}{2}<0$$, $$\cos \frac{t}{2}>0$$.

   $$\sin t=-\frac{5}{13}$$
   $$ \cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13} $$
   $$ \sin \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{12}{13}}{2}}=-\frac{\sqrt{26}}{26} $$
   $$ \cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{12}{13}}{2}}=\frac{5\sqrt{26}}{26} $$
   $$ \tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{-\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}}=-\frac{1}{5} $$

4. г) $$t=\arcctg \frac{12}{5}$$

   Так как $$t \in \left(0;\pi\right)$$ и $$\ctg t>0$$, то $$t \in \left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$, значит, $$\frac{t}{2} \in \left(0;\frac{\pi}{4}\right)$$. Поэтому все три значения положительны.

   $$\ctg t=\frac{12}{5}$$
   $$ \sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=\frac{5}{13} $$
   $$ \cos t=\ctg t \cdot \sin t=\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{12}{13} $$
   $$ \sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{12}{13}}{2}}=\frac{\sqrt{26}}{26} $$
   $$ \cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{12}{13}}{2}}=\frac{5\sqrt{26}}{26} $$
   $$ \tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}}=\frac{1}{5} $$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt{5}}{5},\ \frac{2\sqrt{5}}{5},\ \frac{1}{2}$$;
б) $$-\frac{\sqrt{10}}{10},\ \frac{3\sqrt{10}}{10},\ -\frac{1}{3}$$;
в) $$-\frac{\sqrt{26}}{26},\ \frac{5\sqrt{26}}{26},\ -\frac{1}{5}$$;
г) $$\frac{\sqrt{26}}{26},\ \frac{5\sqrt{26}}{26},\ \frac{1}{5}$$.