Упр.27.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что t = 2 arccos 3/5, вычислите sin t, cos t, tg t, ctg t; б) зная, что t = 2 arctg (-3/4), вычислите sin t, cos t, tg t, ctg t; в) зная, что t = 2 arcsin (-5/13), вычислите sin t, cos t, tg t, ctg t; г) зная, что t = 2 arcctg 12/5, вычислите sin t, cos t, tg t, ctg t.

1. а) $$t=2\arccos \frac35$$

   Тогда $$\frac t2=\arccos \frac35,$$ значит, $$\cos \frac t2=\frac35.$$

   Так как $$\frac t2\in\left[0;\pi\right],$$ то $$\sin \frac t2=\sqrt{1-\cos^2 \frac t2}=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45.$$

   Теперь найдём значения функций двойного угла:

   $$ \sin t=2\sin \frac t2\cos \frac t2=2\cdot \frac45\cdot \frac35=\frac{24}{25} $$
   $$ \cos t=\cos^2 \frac t2-\sin^2 \frac t2=\left(\frac35\right)^2-\left(\frac45\right)^2=-\frac{7}{25} $$
   $$ \tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{24/25}{-7/25}=-\frac{24}{7} $$
   $$ \ctg t=\frac1{\tg t}=-\frac{7}{24} $$

2. б) $$t=2\arctg\left(-\frac34\right)$$

   Тогда $$\frac t2=\arctg\left(-\frac34\right),$$ значит, $$\tg \frac t2=-\frac34.$$

   Так как $$\frac t2\in\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right),$$ то $$\cos \frac t2>0,$$ и

   $$ \cos \frac t2=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 \frac t2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac34\right)^2}}=\frac45 $$
   $$ \sin \frac t2=\tg \frac t2\cdot \cos \frac t2=-\frac34\cdot \frac45=-\frac35 $$

   Тогда

   $$ \sin t=2\sin \frac t2\cos \frac t2=2\cdot \left(-\frac35\right)\cdot \frac45=-\frac{24}{25} $$
   $$ \cos t=\cos^2 \frac t2-\sin^2 \frac t2=\left(\frac45\right)^2-\left(-\frac35\right)^2=\frac{7}{25} $$
   $$ \tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-24/25}{7/25}=-\frac{24}{7} $$
   $$ \ctg t=\frac1{\tg t}=-\frac{7}{24} $$

3. в) $$t=2\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$$

   Тогда $$\frac t2=\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right),$$ значит, $$\sin \frac t2=-\frac{5}{13}.$$

   Так как $$\frac t2\in\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right],$$ то $$\cos \frac t2>0,$$ и

   $$ \cos \frac t2=\sqrt{1-\sin^2 \frac t2}=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\frac{12}{13} $$

   Следовательно,

   $$ \sin t=2\sin \frac t2\cos \frac t2=2\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)\cdot \frac{12}{13}=-\frac{120}{169} $$
   $$ \cos t=\cos^2 \frac t2-\sin^2 \frac t2=\left(\frac{12}{13}\right)^2-\left(-\frac{5}{13}\right)^2=\frac{119}{169} $$
   $$ \tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-120/169}{119/169}=-\frac{120}{119} $$
   $$ \ctg t=\frac1{\tg t}=-\frac{119}{120} $$

4. г) $$t=2\arcctg \frac{12}{5}$$

   Тогда $$\frac t2=\arcctg \frac{12}{5},$$ значит, $$\ctg \frac t2=\frac{12}{5}.$$

   Так как $$\frac t2\in\left(0;\pi\right),$$ то $$\sin \frac t2>0,$$ и

   $$ \sin \frac t2=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 \frac t2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=\frac{5}{13} $$
   $$ \cos \frac t2=\ctg \frac t2\cdot \sin \frac t2=\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{12}{13} $$

   Тогда

   $$ \sin t=2\sin \frac t2\cos \frac t2=2\cdot \frac{5}{13}\cdot \frac{12}{13}=\frac{120}{169} $$
   $$ \cos t=\cos^2 \frac t2-\sin^2 \frac t2=\left(\frac{12}{13}\right)^2-\left(\frac{5}{13}\right)^2=\frac{119}{169} $$
   $$ \tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{120/169}{119/169}=\frac{120}{119} $$
   $$ \ctg t=\frac1{\tg t}=\frac{119}{120} $$

Ответ

а) $$\sin t=\frac{24}{25},\ \cos t=-\frac{7}{25},\ \tg t=-\frac{24}{7},\ \ctg t=-\frac{7}{24};$$

б) $$\sin t=-\frac{24}{25},\ \cos t=\frac{7}{25},\ \tg t=-\frac{24}{7},\ \ctg t=-\frac{7}{24};$$

в) $$\sin t=-\frac{120}{169},\ \cos t=\frac{119}{169},\ \tg t=-\frac{120}{119},\ \ctg t=-\frac{119}{120};$$

г) $$\sin t=\frac{120}{169},\ \cos t=\frac{119}{169},\ \tg t=\frac{120}{119},\ \ctg t=\frac{119}{120}.$$