Упр.27.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Известно, что tg х = 1/7, sin у = корень10 / 10, 0 < x < пи/2; 0 < y < пи/2. Докажите, что x + 2у = пи/4. б) Известно, что sin x = 7/25, cos у = 7/25, cos z = 3/5, 0 < x < пи/2, 0 < y < пи/2, 0 < z < пи/2. Докажите, что х + y/2 = z

Подробный ответ

а) Так как $$\tg x=\frac{1}{7}, \quad \sin y=\frac{\sqrt{10}}{10}, \quad 0<x<\frac{\pi}{2}, \quad 0<y<\frac{\pi}{2},$$ то точки $x$ и $y$ лежат в первой четверти.

Найдём $$\cos y$$ и $$\tg y$$:

$$ \cos y=\sqrt{1-\sin^2 y} =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{1}{10}} =\sqrt{\frac{9}{10}} =\frac{3}{\sqrt{10}}, $$
$$ \tg y=\frac{\sin y}{\cos y} =\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} =\frac{1}{3}. $$

Тогда

$$ \tg 2y=\frac{2\tg y}{1-\tg^2 y} =\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2} =\frac{2/3}{1-1/9} =\frac{2/3}{8/9} =\frac{3}{4}. $$

Теперь найдём $$\tg(x+2y)$$:

$$ \tg(x+2y)=\frac{\tg x+\tg 2y}{1-\tg x\cdot \tg 2y} =\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}\cdot \frac{3}{4}} =\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} =1. $$

Так как $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ и $$0<2y<\pi,$$ а также $$\tg 2y>0,$$ то $$0<2y<\frac{\pi}{2}.$$ Следовательно, $$0<x+2y<\pi,$$ и при этом $$\tg(x+2y)>0,$$ значит $$0<x+2y<\frac{\pi}{2}.$$

В первой четверти тангенс равен $1$ только при угле $$\frac{\pi}{4},$$ поэтому

$$ x+2y=\frac{\pi}{4}. $$

б) Дано: $$\sin x=\frac{7}{25}, \quad \cos y=\frac{7}{25}, \quad \cos z=\frac{3}{5}, \quad 0<x,y,z<\frac{\pi}{2}.$$

Найдём $$\cos x,$$ $$\sin \frac{y}{2},$$ $$\cos \frac{y}{2}$$:

$$ \cos x=\sqrt{1-\sin^2 x} =\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2} =\sqrt{\frac{576}{625}} =\frac{24}{25}, $$
$$ \cos \frac{y}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos y}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{16}{25}} =\frac{4}{5}, $$
$$ \sin \frac{y}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos y}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{9}{25}} =\frac{3}{5}. $$

Теперь вычислим $$\cos\left(x+\frac{y}{2}\right):$$

$$ \cos\left(x+\frac{y}{2}\right) =\cos x\cos \frac{y}{2}-\sin x\sin \frac{y}{2} =\frac{24}{25}\cdot \frac{4}{5}-\frac{7}{25}\cdot \frac{3}{5} =\frac{96-21}{125} =\frac{3}{5}. $$

Так как $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ и $$0<\frac{y}{2}<\frac{\pi}{4},$$ то $$0<x+\frac{y}{2}<\frac{\pi}{2}.$$ В первой четверти косинус однозначно определяет угол, поэтому из равенства

$$ \cos\left(x+\frac{y}{2}\right)=\cos z=\frac{3}{5} $$

следует, что

$$ x+\frac{y}{2}=z. $$