Упр.27.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Докажите, что если sin2 х = sin у cos у, то cos 2х = 2 cos2 (пи/4 + y); б) докажите, что если cos2 х = sin у cos у, то cos (пи + 2х) = 2sin2 (пи/4 — y).

а) Докажем тождество:

$$ 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+y\right)=2\cdot \frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}+2y\right)}{2} =1+\cos\left(\frac{\pi}{2}+2y\right) =1-\sin 2y. $$

По условию $$\sin^2 x=\sin y\cos y,$$ значит

$$ 2\sin^2 x=2\sin y\cos y=\sin 2y. $$

Тогда

$$ \cos 2x=1-2\sin^2 x=1-\sin 2y. $$

Следовательно,

$$ \cos 2x=2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+y\right). $$

Что и требовалось доказать.

б) Докажем тождество:

$$ 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-y\right) =2\cdot \frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2y\right)}{2} =1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2y\right) =1-\sin 2y. $$

По условию $$\cos^2 x=\sin y\cos y,$$ значит

$$ 2\cos^2 x=2\sin y\cos y=\sin 2y. $$

Тогда

$$ \cos(\pi+2x)=-\cos 2x=-(1-2\cos^2 x)=2\cos^2 x-1=\sin 2y-1. $$

Следовательно,

$$ \cos(\pi+2x)=-(1-\sin 2y)=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-y\right). $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ \cos 2x=2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+y\right),\qquad \cos(\pi+2x)=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-y\right). $$