Упр.27.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что 15 cos 2t + 8 sin t = 9 и 1 < t < 3, вычислите tg t; б) зная, что 6 cos 2t + 5 cos t + 3 = 0и4 < t < 6, вычислите ctg t.

а) Преобразуем уравнение:

$$15\cos 2t+8\sin t=9$$

$$15(1-2\sin^2 t)+8\sin t=9$$

$$15-30\sin^2 t+8\sin t-9=0$$

$$15\sin^2 t-4\sin t-3=0$$

Пусть $$y=\sin t$$. Тогда

$$15y^2-4y-3=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 15\cdot(-3)=16+180=196$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 14}{30}$$

$$y_1=\frac{3}{5},\quad y_2=-\frac{1}{3}$$

Так как $$1<t<3$$, то $$\sin t>0$$, значит

$$\sin t=\frac{3}{5}$$

Тогда

$$\cos t=\pm\sqrt{1-\sin^2 t}=\pm\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\pm\frac{4}{5}$$

Из условия $$1<t<3$$ возможны I и II четверти. Проверим знак тангенса:

если $$t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$, то $$\tg t>0$$, а если $$t\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$$, то $$\tg t<0$$.

Так как $$\tg t=\dfrac{\sin t}{\cos t}$$, получаем

$$\tg t=\pm\frac{3}{4}$$

Подходит значение из II четверти:

$$\tg t=-\frac{3}{4}$$

б) Преобразуем уравнение:

$$6\cos 2t+5\cos t+3=0$$

$$6(2\cos^2 t-1)+5\cos t+3=0$$

$$12\cos^2 t+5\cos t-3=0$$

Пусть $$y=\cos t$$. Тогда

$$12y^2+5y-3=0$$

$$D=5^2-4\cdot 12\cdot(-3)=25+144=169$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{24}$$

$$y_1=\frac{1}{3},\quad y_2=-\frac{3}{4}$$

Так как $$4<t<6$$, то $$t$$ лежит в III или IV четверти. Проверим возможные значения:

в III четверти $$\cos t<0$$, значит подходит $$\cos t=-\frac{3}{4}$$;

в IV четверти $$\cos t>0$$, значит подходит $$\cos t=\frac{1}{3}$$.

Найдём $$\sin t$$ для подходящего значения $$\cos t=-\frac{3}{4}$$:

$$\sin t=-\sqrt{1-\cos^2 t}=-\sqrt{1-\left(-\frac{3}{4}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Тогда

$$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$$

Ответ

а) $$-\frac{3}{4}$$; б) $$\frac{3\sqrt{7}}{7}$$.