Упр.27.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что f(х) = sin х, f(a) = 0,1, вычислите f(3a); б) зная, что f(x) = sin х, f(a) = 0,25, вычислите f(4a); в) зная, что f(x) = cos х, f(a) = -0,1, вычислите f(3a); г) зная, что f(x) = cos х, f(a) = 2/3, вычислите f(4a).

1. Если $$f(x)=\sin x$$ и $$f(a)=0{,}1,$$ то $$\sin a=0{,}1.$$ Используем формулу:

   $$\sin 3a=3\sin a-4\sin^3 a.$$

   Тогда

   $$f(3a)=3\cdot 0{,}1-4\cdot (0{,}1)^3=0{,}3-0{,}004=0{,}296.$$

2. Если $$f(x)=\sin x$$ и $$f(a)=0{,}25,$$ то $$\sin a=\frac14.$$ Найдём $$f(4a).$$

   Используем формулу:

   $$\sin 4a=4\sin a\cos a\cos 2a.$$

   Так как

   $$\cos a=\pm\sqrt{1-\sin^2 a}=\pm\sqrt{1-\left(\frac14\right)^2}=\pm\frac{\sqrt{15}}{4},$$

   $$\cos 2a=1-2\sin^2 a=1-2\left(\frac14\right)^2=\frac78,$$

   то

   $$f(4a)=4\cdot \frac14 \cdot \left(\pm\frac{\sqrt{15}}{4}\right)\cdot \frac78=\pm\frac{7\sqrt{15}}{32}.$$

3. Если $$f(x)=\cos x$$ и $$f(a)=-0{,}1,$$ то $$\cos a=-0{,}1.$$ Используем формулу:

   $$\cos 3a=4\cos^3 a-3\cos a.$$

   Тогда

   $$f(3a)=4\cdot (-0{,}1)^3-3\cdot (-0{,}1)=-0{,}004+0{,}3=0{,}296.$$

4. Если $$f(x)=\cos x$$ и $$f(a)=\frac23,$$ то $$\cos a=\frac23.$$ Найдём $$f(4a).$$

   Используем формулу:

   $$\cos 4a=\cos^2 2a-\sin^2 2a=(2\cos^2 a-1)^2-4\sin^2 a\cos^2 a.$$

   Так как

   $$\sin^2 a=1-\cos^2 a=1-\left(\frac23\right)^2=\frac59,$$

   то

   $$f(4a)=\left(2\cdot \left(\frac23\right)^2-1\right)^2-4\cdot \frac59\cdot \left(\frac23\right)^2$$

   $$=\left(\frac89-1\right)^2-\frac{80}{81}=\frac{1}{81}-\frac{80}{81}=-\frac{79}{81}.$$

Ответ

а) $$0{,}296$$; б) $$\pm \frac{7\sqrt{15}}{32}$$; в) $$0{,}296$$; г) $$-\frac{79}{81}$$.