Упр.27.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) 2sin пи/8 cos пи/8; б) sin пи/8 cos пи/8 + 1/4; в) cos пи/8 — sin2 пи/8; г) корень2 / 2 — (cos пи/8 + sin пи/8)2.
Используем формулы:
$$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x,$$
$$\cos^2 x+\sin^2 x=1.$$
$$2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}=\sin \left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right)=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
$$\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}+\frac14 =\frac12\cdot 2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}+\frac14 =\frac12\sin \frac{\pi}{4}+\frac14$$
$$=\frac12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac14 =\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac14 =\frac{\sqrt{2}+1}{4}.$$$$\cos^2 \frac{\pi}{8}-\sin^2 \frac{\pi}{8} =\cos \left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right) =\cos \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
$$\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\cos \frac{\pi}{8}+\sin \frac{\pi}{8}\right)^2$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\cos^2 \frac{\pi}{8}+\sin^2 \frac{\pi}{8}+2\cos \frac{\pi}{8}\sin \frac{\pi}{8}\right)$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(1+\sin \frac{\pi}{4}\right)$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}-1-\frac{\sqrt{2}}{2}=-1.$$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$$; в) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; г) $$-1$$.
