Упр.27.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Опираясь на результаты № 27.38, сформулируйте необходимое и достаточное условие для выполнения равенства: a) sin 3х = 3sin х; б) cos 3x + 3cos х = 0.

Используем формулы:

$$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x,$$

$$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x.$$

1. $$\sin 3x=3\sin x$$

   Подставим формулу для $$\sin 3x$$:

   $$3\sin x-4\sin^3 x=3\sin x$$

   $$-4\sin^3 x=0$$

   $$\sin^3 x=0$$

   $$\sin x=0$$

   Следовательно,

   $$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\cos 3x+3\cos x=0$$

   Подставим формулу для $$\cos 3x$$:

   $$4\cos^3 x-3\cos x+3\cos x=0$$

   $$4\cos^3 x=0$$

   $$\cos^3 x=0$$

   $$\cos x=0$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$.