Упр.27.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Выразите: a) sin 3x через sin х; б) cos 3x через cos x

Используем формулы сложения:

$$\sin(2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x,$$
$$\cos(2x+x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x.$$

а)

$$ \sin 3x=\sin(2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x. $$

Подставим формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$ \sin 3x=2\sin x\cos^2 x+(1-2\sin^2 x)\sin x. $$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, получаем:

$$ \sin 3x=2\sin x(1-\sin^2 x)+\sin x-2\sin^3 x =3\sin x-4\sin^3 x. $$

б)

$$ \cos 3x=\cos(2x+x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x. $$

Подставим формулы $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$ \cos 3x=(2\cos^2 x-1)\cos x-2\sin^2 x\cos x. $$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, имеем:

$$ \cos 3x=2\cos^3 x-\cos x-2(1-\cos^2 x)\cos x =4\cos^3 x-3\cos x. $$

Ответ

$$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x,$$
$$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x.$$