Упр.27.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сравните числа а и b, если: a) а = sin пи/12, b = 1/4; б) а = tg пи/8, b = 1/2.

Подробный ответ

а) $$a=\sin \frac{\pi}{12}, \quad b=\frac14.$$

Найдём значение $$a$$:

$$ \sin \frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi}{6}}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}. $$

Сравним с $$\frac14$$. Так как оба числа положительны, достаточно сравнить квадраты:

$$ \frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}>\frac14 \iff 2\sqrt{2-\sqrt3}>1 \iff 4(2-\sqrt3)>1 $$
$$ 8-4\sqrt3>1 \iff 4\sqrt3<7. $$

Возводим в квадрат:

$$ 48<49, $$

что верно. Значит, $$a>b$$.

б) $$a=\tg \frac{\pi}{8}, \quad b=\frac12.$$

Найдём значение $$a$$:

$$ \tg \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{1+\cos \frac{\pi}{4}}} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}. $$

Упростим:

$$ \frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2} = \frac{(2-\sqrt2)^2}{(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)} = \frac{4-4\sqrt2+2}{4-2} = \frac{6-4\sqrt2}{2} = 3-2\sqrt2. $$

Тогда

$$ a=\sqrt{3-2\sqrt2}. $$

Сравним с $$\frac12$$. Так как числа положительны, сравним квадраты:

$$ \sqrt{3-2\sqrt2}<\frac12 \iff 2\sqrt{3-2\sqrt2}<1 \iff 4(3-2\sqrt2)<1 $$
$$ 12-8\sqrt2<1 \iff 8\sqrt2>11. $$

Возводим в квадрат:

$$ 128>121, $$

что верно. Значит, $$a<b$$.