Упр.27.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, что cos 2х = 5/13. Вычислите: a) sin4 х + cos4 х; б) sin8 х — cos8 х.

Известно, что $$\cos 2x=\frac{5}{13}.$$ Тогда

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1-\frac{5}{13}}{2}=\frac{8}{26}=\frac{4}{13},$$
$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1+\frac{5}{13}}{2}=\frac{18}{26}=\frac{9}{13}.$$

a)

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1^2-2\cdot \frac{4}{13}\cdot \frac{9}{13} =1-\frac{72}{169} =\frac{97}{169}.$$

б)

$$\sin^8 x-\cos^8 x=(\sin^4 x-\cos^4 x)(\sin^4 x+\cos^4 x).$$

$$\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin^2 x-\cos^2 x.$$

Так как

$$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x=-\frac{5}{13},$$

то

$$\sin^8 x-\cos^8 x=-\frac{5}{13}\cdot \frac{97}{169}=-\frac{485}{2197}.$$

Ответ

а) $$\frac{97}{169}$$; б) $$-\frac{485}{2197}$$.