Упр.27.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Известно, что sin 2а = 1/3. Вычислите sin4 а + cos4 а. б) Известно, что sin4 а + cos4 а=49/50 и пи/2 < а < пи. Вычислите sin 2а.

а) Пусть $$\sin 2a=\frac13.$$ Тогда

$$2\sin a\cos a=\frac13,$$
$$\sin a\cos a=\frac16.$$

Искомое выражение преобразуем так:

$$\sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ то

$$\sin^4 a+\cos^4 a=1-2(\sin a\cos a)^2=1-2\left(\frac16\right)^2=1-\frac{2}{36}=1-\frac{1}{18}=\frac{17}{18}.$$

б) Пусть $$\sin^4 a+\cos^4 a=\frac{49}{50}, \quad \frac{\pi}{2}

Используем ту же формулу:

$$\sin^4 a+\cos^4 a=1-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

Тогда

$$1-2\sin^2 a\cos^2 a=\frac{49}{50},$$
$$2\sin^2 a\cos^2 a=\frac{1}{50},$$
$$\sin^2 a\cos^2 a=\frac{1}{100}.$$

Следовательно,

$$\sin a\cos a=\pm \frac{1}{10}.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}0,$$ $$\cos a<0,$$ и потому

$$\sin a\cos a=-\frac{1}{10}.$$

Теперь находим:

$$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)=-\frac15.$$

Ответ

а) $$\frac{17}{18}$$; б) $$-\frac15$$.