Упр.27.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите sin (x + пи/6), если: a) sin (x/2 — пи/6); б) cos (x/2 + пи/3).

а) Пусть $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=a.$$ Тогда

$$ \sin^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=a^2, $$
$$ \frac{1-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{2}=a^2. $$

Так как

$$ x-\frac{\pi}{3}=\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{2}, $$
то

$$ \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right). $$

Следовательно,

$$ \frac{1-\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{2}=a^2, $$
$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1-2a^2. $$

б) Пусть $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=a.$$ Тогда

$$ \cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=a^2, $$
$$ \frac{1+\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)}{2}=a^2. $$

Так как

$$ x+\frac{2\pi}{3}=\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{2}, $$
то

$$ \cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right). $$

Тогда

$$ \frac{1-\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{2}=a^2, $$
$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1-2a^2. $$

Ответ

а) $$1-2a^2$$; б) $$1-2a^2$$.