Упр.27.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) зная, что cos 4x = -527/625, пи/4 < x < 3пи/2, вычислите sin x; б) зная, что cos 4x = 17/81, пи/2 < x < 3пи/4, вычислите tg x;

Подробный ответ

а) Из формулы двойного угла:

$$\cos 2x=\pm\sqrt{\frac{1+\cos 4x}{2}}.$$

Так как $$\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2},$$ то $$\frac{\pi}{2}<2x<\pi,$$ значит, $$\cos 2x<0.$$ Тогда

$$\cos 2x=-\sqrt{\frac{1+\cos 4x}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{527}{625}}{2}}=-\sqrt{\frac{98}{625}}=-\frac{7}{25}.$$

Теперь найдём $$\sin x$$:

$$\sin x=\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

б) Сначала найдём $$\cos 2x$$:

$$\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1+\frac{17}{81}}{2}=\frac{49}{81}.$$

Значит, $$\cos 2x=\pm \frac{7}{9}.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{4},$$ то $$\pi<2x<\frac{3\pi}{2},$$ следовательно, $$\cos 2x<0,$$ то есть

$$\cos 2x=-\frac{7}{9}.$$

Тогда

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1-\frac{7}{9}}{2}=\frac{1}{9},$$

а значит, $$\cos x=\frac{1}{3}$$, поскольку $$x$$ лежит во второй четверти.

Теперь

$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\cos x}=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{9}}}{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{\frac{8}{9}}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}.$$

Но во второй четверти $$\tg x<0,$$ значит,

$$\tg x=-2\sqrt{2}.$$