Упр.27.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) зная, что tg x/2 = а, наидите sin (2x — пи)/2, cos (2x + пи)/2. б) зная, что tg x/4 = а, наидите sin (x — 3пи)/2, cos (x + 3пи)/2

1. а) Пусть $$\tg \frac{x}{2}=a.$$ Тогда

   $$\tg^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=a^2.$$
   Отсюда
   $$1-\cos x=a^2(1+\cos x),$$
   $$1-a^2=\cos x(1+a^2),$$
   $$\cos x=\frac{1-a^2}{1+a^2}.$$

   Найдём $$\sin x$$:

   $$\tg x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1-\tg^2 \frac{x}{2}}=\frac{2a}{1-a^2},$$
   $$\sin x=\tg x \cdot \cos x=\frac{2a}{1-a^2}\cdot \frac{1-a^2}{1+a^2}=\frac{2a}{1+a^2}.$$

   Тогда

   $$\sin \frac{2x-\pi}{2}=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x=-\frac{1-a^2}{1+a^2}=\frac{a^2-1}{1+a^2},$$
   $$\cos \frac{2x+\pi}{2}=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x=-\frac{2a}{1+a^2}.$$

2. б) Пусть $$\tg \frac{x}{4}=a.$$ Тогда

   $$\tg^2 \frac{x}{4}=\frac{1-\cos \frac{x}{2}}{1+\cos \frac{x}{2}}=a^2.$$
   Отсюда
   $$\cos \frac{x}{2}=\frac{1-a^2}{1+a^2}.$$

   Найдём $$\sin \frac{x}{2}$$:

   $$\tg \frac{x}{2}=\frac{2\tg \frac{x}{4}}{1-\tg^2 \frac{x}{4}}=\frac{2a}{1-a^2},$$
   $$\sin \frac{x}{2}=\tg \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}=\frac{2a}{1-a^2}\cdot \frac{1-a^2}{1+a^2}=\frac{2a}{1+a^2}.$$

   Тогда

   $$\sin \frac{x-3\pi}{2}=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos \frac{x}{2}=\frac{1-a^2}{1+a^2},$$
   $$\cos \frac{x+3\pi}{2}=\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin \frac{x}{2}=\frac{2a}{1+a^2}.$$

Ответ

а) $$\frac{a^2-1}{1+a^2};\ -\frac{2a}{1+a^2}.$$
б) $$\frac{1-a^2}{1+a^2};\ \frac{2a}{1+a^2}.$$