Упр.27.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Известно, что sin 2х = -3/5, пи/2 < x < пи. Вычислите: cos x, sin x, tg x, ctg x. a) Известно, что tg 2х = 3/4, пи < x < 5пи/4. Вычислите: cos x, sin x, tg x, ctg x.

1. а) $$\sin 2x=-\frac{3}{5}, \quad \frac{\pi}{2}

   Так как $$\frac{\pi}{2}

   Найдём $$\cos 2x$$:

   $$ \cos 2x=\pm\sqrt{1-\sin^2 2x} =\pm\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2} =\pm\sqrt{1-\frac{9}{25}} =\pm\frac{4}{5}. $$

   Рассмотрим оба случая.

   1) Если $$\cos 2x=\frac{4}{5},$$ то

   $$ \cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}} =-\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}} =-\sqrt{\frac{9}{10}} =-\frac{3}{\sqrt{10}}, $$
   $$ \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x} =\sqrt{1-\frac{9}{10}} =\frac{1}{\sqrt{10}}. $$

   $$ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{1/\sqrt{10}}{-3/\sqrt{10}} =-\frac{1}{3}, \qquad \ctg x=\frac{1}{\tg x}=-3. $$

   2) Если $$\cos 2x=-\frac{4}{5},$$ то

   $$ \cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}} =-\sqrt{\frac{1}{10}} =-\frac{1}{\sqrt{10}}, $$
   $$ \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x} =\sqrt{1-\frac{1}{10}} =\frac{3}{\sqrt{10}}. $$

   $$ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{3/\sqrt{10}}{-1/\sqrt{10}} =-3, \qquad \ctg x=\frac{1}{\tg x}=-\frac{1}{3}. $$

2. б) $$\tg 2x=\frac{3}{4}, \quad \pi<x<\frac{5\pi}{4}.$$

   Так как $$\pi<x<\frac{5\pi}{4},$$ то угол $$x$$ лежит в III четверти, значит $$\sin x<0,$$ $$\cos x<0.$$

   Поскольку $$\tg 2x>0,$$ то $$2x$$ лежит в I четверти, следовательно $$\cos 2x>0.$$ Тогда

   $$ \cos 2x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 2x}} =\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}} =\frac{4}{5}. $$

   Теперь найдём $$\cos x$$ и $$\sin x$$:

   $$ \cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}} =-\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}} =-\frac{3}{\sqrt{10}}, $$
   $$ \sin x=-\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}} =-\frac{1}{\sqrt{10}}. $$

   $$ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{-1/\sqrt{10}}{-3/\sqrt{10}} =\frac{1}{3}, \qquad \ctg x=\frac{1}{\tg x}=3. $$

Ответ

а) $$\cos x=-\frac{3}{\sqrt{10}},\ \sin x=\frac{1}{\sqrt{10}},\ \tg x=-\frac{1}{3},\ \ctg x=-3$$
или $$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{10}},\ \sin x=\frac{3}{\sqrt{10}},\ \tg x=-3,\ \ctg x=-\frac{1}{3}.$$

б) $$\cos x=-\frac{3}{\sqrt{10}},\ \sin x=-\frac{1}{\sqrt{10}},\ \tg x=\frac{1}{3},\ \ctg x=3.$$