Упр.27.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Известно, что cos t = 3/4, 0 < t < пи/2. Вычислите: cos t/2, sin t/2, tg t/2, ctg t/2. б) Известно, что ctg t = 3/4, пи < t < 3пи/2. Вычислите: cos t/2, sin t/2, tg t/2, ctg t/2.

Подробный ответ

а) Дано: $$\cos t=\frac{3}{4}, \quad 0<t<\frac{\pi}{2}.$$

Тогда $$0<\frac{t}{2}<\frac{\pi}{4},$$ значит, для половинного угла берём положительные значения:

$$ \cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac34}{2}} =\sqrt{\frac{7}{8}} =\frac{\sqrt{14}}{4}, $$
$$ \sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac34}{2}} =\sqrt{\frac{1}{8}} =\frac{\sqrt2}{4}. $$

$$ \tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} =\frac{\frac{\sqrt2}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} =\sqrt{\frac{1}{7}} =\frac{\sqrt7}{7}, $$
$$ \ctg \frac{t}{2}=\frac{1}{\tg \frac{t}{2}}=\sqrt7. $$

б) Дано: $$\ctg t=\frac{3}{4}, \quad \pi<t<\frac{3\pi}{2}.$$

Угол $$t$$ лежит в третьей четверти, поэтому $$\sin t<0$$ и $$\cos t<0.$$

Из $$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}=\frac34$$ получаем:
$$ \sin t=-\frac{4}{5}, \qquad \cos t=-\frac{3}{5}. $$

Тогда $$\frac{t}{2}$$ лежит во второй четверти, значит $$\sin \frac{t}{2}>0,$$ $$\cos \frac{t}{2}<0.$$

$$ \cos \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac35}{2}} =-\sqrt{\frac{1}{5}} =-\frac{\sqrt5}{5}, $$
$$ \sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}} =\sqrt{\frac{4}{5}} =\frac{2\sqrt5}{5}. $$

$$ \tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} =\frac{\frac{2\sqrt5}{5}}{-\frac{\sqrt5}{5}} =-2, $$
$$ \ctg \frac{t}{2}=\frac{1}{\tg \frac{t}{2}}=-\frac12. $$