Упр.27.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, что sin t = 5/13, пи/2 < t < пи. Вычислите: a) sin 2t; б) cos 2t; в) tg 2t; г) ctg 2t.

Подробный ответ

Так как $$\sin t=\frac{5}{13}$$ и $$\frac{\pi}{2}

Найдём $$\cos t$$:

$$ \cos t=-\sqrt{1-\sin^2 t} =-\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{25}{169}} =-\sqrt{\frac{144}{169}} =-\frac{12}{13}. $$

Тогда

$$ \tg t=\frac{\sin t}{\cos t} =\frac{5/13}{-12/13} =-\frac{5}{12}. $$

а) $$\sin 2t=2\sin t\cos t,$$ значит

$$ \sin 2t=2\cdot \frac{5}{13}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right) =-\frac{120}{169}. $$

б) $$\cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t,$$ значит

$$ \cos 2t=\left(-\frac{12}{13}\right)^2-\left(\frac{5}{13}\right)^2 =\frac{144}{169}-\frac{25}{169} =\frac{119}{169}. $$

в) $$\tg 2t=\frac{2\tg t}{1-\tg^2 t},$$ поэтому

$$ \tg 2t=\frac{2\cdot \left(-\frac{5}{12}\right)}{1-\left(-\frac{5}{12}\right)^2} =\frac{-\frac{5}{6}}{1-\frac{25}{144}} =\frac{-\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} =-\frac{120}{119}. $$

г) $$\ctg 2t=\frac{1}{\tg 2t},$$ значит

$$ \ctg 2t=\frac{1}{-\frac{120}{119}} =-\frac{119}{120}. $$