Упр.27.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) 2 sin 15° cos 15°; б) (cos 75° — sin 75°)2; в) cos215° — sin215°; г) (cos 15° + sin 15°)2.

Используем формулы:

$$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x,$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)^2=\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x,$$

$$\left(\cos x+\sin x\right)^2=\cos^2 x+\sin^2 x+2\sin x\cos x.$$

1. $$2\sin 15^\circ\cos 15^\circ=\sin 30^\circ=\frac12.$$

2. $$\left(\cos 75^\circ-\sin 75^\circ\right)^2=\cos^2 75^\circ+\sin^2 75^\circ-2\sin 75^\circ\cos 75^\circ$$

   $$=1-\sin 150^\circ=1-\sin 30^\circ=1-\frac12=\frac12.$$

3. $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

4. $$\left(\cos 15^\circ+\sin 15^\circ\right)^2=\cos^2 15^\circ+\sin^2 15^\circ+2\sin 15^\circ\cos 15^\circ$$

   $$=1+\sin 30^\circ=1+\frac12=\frac32.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac12$$; в) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; г) $$\frac32$$.