Упр.27.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, что tg х = 3/4, 180° < х < 270°. Вычислите: a) sin 2х; б) cos 2х; в) tg 2х; г) ctg 2х.

Подробный ответ

Так как $$tg x=\frac{3}{4}$$ и $$180^\circ<x<270^\circ,$$ то угол $$x$$ лежит в третьей четверти, значит $$\sin x<0$$ и $$\cos x<0.$$

Найдём $$\cos x$$:

$$ 1+tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x} $$

$$ 1+\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{1}{\cos^2 x} $$

$$ 1+\frac{9}{16}=\frac{1}{\cos^2 x} \quad\Rightarrow\quad \frac{25}{16}=\frac{1}{\cos^2 x} $$

$$ \cos^2 x=\frac{16}{25} \quad\Rightarrow\quad \cos x=-\frac{4}{5} $$

Тогда

$$ \sin x=tg x\cdot \cos x=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{3}{5} $$

Теперь вычислим значения двойного угла.

а) $$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{24}{25}.$$

б) $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=\left(-\frac{4}{5}\right)^2-\left(-\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.$$

в) $$tg 2x=\frac{2tg x}{1-tg^2 x}=\frac{2\cdot \frac{3}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=\frac{24}{7}.$$

г) $$ctg 2x=\frac{1}{tg 2x}=\frac{7}{24}.$$