Упр.27.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, что cos х = 0,8, 0 < х < пи/2. Вычислите: a) sin 2x; б) cos 2х; в) tg 2х; г) ctg 2х.

Так как $$\cos x=0{,}8=\frac45$$ и $$0<x<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$x$$ лежит в первой четверти, значит $$\sin x>0.$$

Найдём $$\sin x$$:

$$ \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x} =\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2} =\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{9}{25}} =\frac35. $$

Тогда

$$ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34. $$

Теперь вычислим:

а) $$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25};$$

б) $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=\left(\frac45\right)^2-\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25};$$

в) $$\tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=\frac{2\cdot\frac34}{1-\left(\frac34\right)^2} =\frac{\frac32}{1-\frac{9}{16}} =\frac{\frac32}{\frac{7}{16}} =\frac{24}{7};$$

г) $$\ctg 2x=\frac{1}{\tg 2x}=\frac{7}{24}.$$

Ответ

а) $$\frac{24}{25}$$; б) $$\frac{7}{25}$$; в) $$\frac{24}{7}$$; г) $$\frac{7}{24}$$.