Упр.27.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите равенство: a) 8cos 10° cos 20° cos 40° = ctg 10°; б) sin 70° + 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos2 10°.

а) Преобразуем левую часть, используя формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

$$ 8\cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \frac{4}{\sin 10^\circ}\,(2\sin 10^\circ \cos 10^\circ)\cos 20^\circ \cos 40^\circ $$

$$ = \frac{2}{\sin 10^\circ}\,(2\sin 20^\circ \cos 20^\circ)\cos 40^\circ = \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} $$

$$ = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{\sin(90^\circ-10^\circ)}{\sin 10^\circ} = \frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \ctg 10^\circ. $$

Равенство доказано.

б) Преобразуем выражение:

$$ \sin 70^\circ + 8\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ $$

$$ = \sin 70^\circ + \frac{4}{\sin 20^\circ}\,(2\sin 20^\circ \cos 20^\circ)\cos 40^\circ \cos 80^\circ $$

$$ = \sin 70^\circ + \frac{2}{\sin 20^\circ}\,(2\sin 40^\circ \cos 40^\circ)\cos 80^\circ = \sin 70^\circ + \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} $$

$$ = \sin 70^\circ + \frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} = \sin 70^\circ + \frac{\sin(180^\circ-20^\circ)}{\sin 20^\circ} $$

$$ = \sin 70^\circ + \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = \sin 70^\circ + 1. $$

Так как $$\sin 70^\circ=\cos 20^\circ$$, а также $$1=\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ,$$ то удобнее записать:

$$ \sin 70^\circ + 8\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \cos 20^\circ + 1 $$

$$ = \cos 20^\circ + \left(\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ\right) = 2\cos^2 10^\circ. $$

Равенство доказано.

Ответ

а) $$8\cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ=\ctg 10^\circ$$; б) $$\sin 70^\circ+8\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ=2\cos^2 10^\circ$$.