Упр.27.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin2 3пи/8 + cos2 3пи/8 + sin4 3пи/8 + cos4 3пи/8 + sin6 3пи/8 + cos6 3пи/8; б) cos2 5пи/8 — sin2 5пи/8 + cos4 5пи/8 — sin4 5пи/8 + cos4 5пи/8 — sin6 5пи/8.
а) Обозначим
$$ S=\left(\sin^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{8}\right)+\left(\sin^4\frac{3\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8}\right)+\left(\sin^6\frac{3\pi}{8}+\cos^6\frac{3\pi}{8}\right). $$
Первое слагаемое:
$$ \sin^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{8}=1. $$
Второе слагаемое:
$$ \sin^4\frac{3\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8} =\left(\sin^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{8}\right)^2-2\sin^2\frac{3\pi}{8}\cos^2\frac{3\pi}{8} $$
$$ =1-2\sin^2\frac{3\pi}{8}\cos^2\frac{3\pi}{8}. $$
Так как
$$ \sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}=\frac12\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{4}, $$
то
$$ \sin^2\frac{3\pi}{8}\cos^2\frac{3\pi}{8}=\left(\frac{\sqrt2}{4}\right)^2=\frac18. $$
Следовательно,
$$ \sin^4\frac{3\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8}=1-2\cdot\frac18=\frac34. $$
Третье слагаемое:
$$ \sin^6\frac{3\pi}{8}+\cos^6\frac{3\pi}{8} =\left(\sin^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{8}\right) \left(\sin^4\frac{3\pi}{8}-\sin^2\frac{3\pi}{8}\cos^2\frac{3\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8}\right) $$
$$ =1\left(\frac34-\frac18\right)=\frac58. $$
Тогда
$$ S=1+\frac34+\frac58=\frac{19}{8}=2\frac38. $$
б) Рассмотрим
$$ T=\left(\cos^2\frac{5\pi}{8}-\sin^2\frac{5\pi}{8}\right)+\left(\cos^4\frac{5\pi}{8}-\sin^4\frac{5\pi}{8}\right)+\left(\cos^6\frac{5\pi}{8}-\sin^6\frac{5\pi}{8}\right). $$
Первое слагаемое:
$$ \cos^2\frac{5\pi}{8}-\sin^2\frac{5\pi}{8}=\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. $$
Второе слагаемое:
$$ \cos^4\frac{5\pi}{8}-\sin^4\frac{5\pi}{8} =\left(\cos^2\frac{5\pi}{8}-\sin^2\frac{5\pi}{8}\right)\left(\cos^2\frac{5\pi}{8}+\sin^2\frac{5\pi}{8}\right) =-\frac{\sqrt2}{2}. $$
Третье слагаемое:
$$ \cos^6\frac{5\pi}{8}-\sin^6\frac{5\pi}{8} =\left(\cos^2\frac{5\pi}{8}-\sin^2\frac{5\pi}{8}\right) \left(\cos^4\frac{5\pi}{8}+\cos^2\frac{5\pi}{8}\sin^2\frac{5\pi}{8}+\sin^4\frac{5\pi}{8}\right). $$
Так как
$$ \cos^4\frac{5\pi}{8}+\cos^2\frac{5\pi}{8}\sin^2\frac{5\pi}{8}+\sin^4\frac{5\pi}{8} =1-\sin^2\frac{5\pi}{8}\cos^2\frac{5\pi}{8}, $$
а
$$ \sin\frac{5\pi}{8}\cos\frac{5\pi}{8}=\frac12\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{4}, $$
то
$$ \sin^2\frac{5\pi}{8}\cos^2\frac{5\pi}{8}=\frac18. $$
Следовательно,
$$ \cos^6\frac{5\pi}{8}-\sin^6\frac{5\pi}{8} =-\frac{\sqrt2}{2}\left(1-\frac18\right) =-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac78 =-\frac{7\sqrt2}{16}. $$
Тогда
$$ T=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{7\sqrt2}{16} =-\frac{23\sqrt2}{16}. $$
Ответ
а) $$2\frac38$$; б) $$-\frac{23\sqrt2}{16}$$.
