Упр.27.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 125° / sin 55° — cos 125° / cos 55°; б) cos 150° / sin 40° — sin 150° / cos 40°.

Подробный ответ

а)

$$ \frac{\sin 125^\circ}{\sin 55^\circ}-\frac{\cos 125^\circ}{\cos 55^\circ} = \frac{\sin 125^\circ\cos 55^\circ-\cos 125^\circ\sin 55^\circ}{\sin 55^\circ\cos 55^\circ} $$

По формуле разности синусов:
$$ \sin 125^\circ\cos 55^\circ-\cos 125^\circ\sin 55^\circ=\sin(125^\circ-55^\circ)=\sin 70^\circ $$
Тогда
$$ \frac{\sin 70^\circ}{\sin 55^\circ\cos 55^\circ} = \frac{2\sin 35^\circ\cos 35^\circ}{\sin 55^\circ\cos 55^\circ} $$
Но удобнее сразу использовать тождество
$$ \sin 55^\circ\cos 55^\circ=\frac12\sin 110^\circ $$
и
$$ \sin 70^\circ=\sin(90^\circ-20^\circ)=\cos 20^\circ,\qquad \sin 110^\circ=\sin(90^\circ+20^\circ)=\cos 20^\circ. $$
Следовательно,
$$ \frac{\sin 70^\circ}{\sin 55^\circ\cos 55^\circ} = \frac{\cos 20^\circ}{\frac12\cos 20^\circ}=2. $$

б)

$$ \frac{\cos 150^\circ}{\sin 40^\circ}-\frac{\sin 150^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\cos 150^\circ\cos 40^\circ-\sin 150^\circ\sin 40^\circ}{\sin 40^\circ\cos 40^\circ} $$

По формуле косинуса суммы:
$$ \cos 150^\circ\cos 40^\circ-\sin 150^\circ\sin 40^\circ=\cos(150^\circ+40^\circ)=\cos 190^\circ $$
Тогда
$$ \frac{\cos 190^\circ}{\sin 40^\circ\cos 40^\circ} = \frac{\cos(180^\circ+10^\circ)}{\frac12\sin 80^\circ} = \frac{-\cos 10^\circ}{\frac12\cos 10^\circ} =-2. $$