Упр.27.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (1 + cos 40° + cos 80°) / (sin 80° + sin 40°) * tg 40°; б) (1 — cos 25° + cos 50°) / (sin 50° + sin 25°) — tg 65°.

Подробный ответ

а)

$$ \frac{1+\cos 40^\circ+\cos 80^\circ}{\sin 80^\circ+\sin 40^\circ}\cdot \tg 40^\circ $$

Используем формулы:
$$ \cos 80^\circ=\cos^2 40^\circ-\sin^2 40^\circ,\qquad \sin 80^\circ=2\sin 40^\circ\cos 40^\circ. $$
Тогда
$$ \frac{1+\cos 40^\circ+\cos^2 40^\circ-\sin^2 40^\circ}{2\sin 40^\circ\cos 40^\circ+\sin 40^\circ}\cdot \tg 40^\circ = \frac{1+\cos 40^\circ+(\cos^2 40^\circ-\sin^2 40^\circ)}{\sin 40^\circ(2\cos 40^\circ+1)}\cdot \tg 40^\circ. $$
Так как
$$ 1=\cos^2 40^\circ+\sin^2 40^\circ, $$
то числитель равен
$$ \cos^2 40^\circ+\sin^2 40^\circ+\cos 40^\circ+\cos^2 40^\circ-\sin^2 40^\circ =2\cos^2 40^\circ+\cos 40^\circ=\cos 40^\circ(2\cos 40^\circ+1). $$
Следовательно,
$$ \frac{\cos 40^\circ(2\cos 40^\circ+1)}{\sin 40^\circ(2\cos 40^\circ+1)}\cdot \tg 40^\circ = \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ}\cdot \tg 40^\circ = \ctg 40^\circ\cdot \tg 40^\circ=1. $$

б)

$$ \frac{1-\cos 25^\circ+\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ-\sin 25^\circ}-\tg 65^\circ $$

Используем формулы:
$$ \cos 50^\circ=\cos^2 25^\circ-\sin^2 25^\circ,\qquad \sin 50^\circ=2\sin 25^\circ\cos 25^\circ. $$
Тогда
$$ \frac{1-\cos 25^\circ+\cos^2 25^\circ-\sin^2 25^\circ}{2\sin 25^\circ\cos 25^\circ-\sin 25^\circ}-\tg 65^\circ. $$
Так как
$$ 1=\cos^2 25^\circ+\sin^2 25^\circ, $$
получаем числитель:
$$ \cos^2 25^\circ+\sin^2 25^\circ-\cos 25^\circ+\cos^2 25^\circ-\sin^2 25^\circ =2\cos^2 25^\circ-\cos 25^\circ=\cos 25^\circ(2\cos 25^\circ-1). $$
Знаменатель:
$$ 2\sin 25^\circ\cos 25^\circ-\sin 25^\circ=\sin 25^\circ(2\cos 25^\circ-1). $$
Значит,
$$ \frac{\cos 25^\circ(2\cos 25^\circ-1)}{\sin 25^\circ(2\cos 25^\circ-1)}-\tg 65^\circ = \frac{\cos 25^\circ}{\sin 25^\circ}-\tg 65^\circ = \ctg 25^\circ-\tg 65^\circ. $$
Но
$$ \tg 65^\circ=\ctg 25^\circ, $$
поэтому
$$ \ctg 25^\circ-\tg 65^\circ=0. $$