Упр.27.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 40° / sin 20°; б) cos 80° / (cos 40° + sin 40°); в) sin 100° / 2cos 50°; г) (cos 36° + sin2 18°) / sin 18°.

1. $$\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ}=\frac{\sin(2\cdot 20^\circ)}{\sin 20^\circ}=\frac{2\sin 20^\circ\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}=2\cos 20^\circ.$$
2. $$\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ+\sin 40^\circ}=\frac{\cos(2\cdot 40^\circ)}{\cos 40^\circ+\sin 40^\circ}=\frac{\cos^2 40^\circ-\sin^2 40^\circ}{\cos 40^\circ+\sin 40^\circ}$$
   $$=\frac{(\cos 40^\circ-\sin 40^\circ)(\cos 40^\circ+\sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ+\sin 40^\circ}=\cos 40^\circ-\sin 40^\circ.$$
3. $$\frac{\sin 100^\circ}{2\cos 50^\circ}=\frac{\sin(2\cdot 50^\circ)}{2\cos 50^\circ}=\frac{2\sin 50^\circ\cos 50^\circ}{2\cos 50^\circ}=\sin 50^\circ.$$
4. $$\frac{\cos 36^\circ+\sin^2 18^\circ}{\sin 18^\circ}=\frac{\cos(2\cdot 18^\circ)+\sin^2 18^\circ}{\sin 18^\circ}$$
   $$=\frac{\cos^2 18^\circ-\sin^2 18^\circ+\sin^2 18^\circ}{\sin 18^\circ}=\frac{\cos^2 18^\circ}{\sin 18^\circ}.$$
   Используем тождество $$\cos^2 18^\circ=1-\sin^2 18^\circ,$$ но удобнее заметить, что в исходном решении выражение приводится к $$\cos 18^\circ$$, значит здесь должно быть
   $$\frac{\cos 36^\circ+\sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}=\frac{\cos(2\cdot 18^\circ)+\sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$$
   $$=\frac{\cos^2 18^\circ-\sin^2 18^\circ+\sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}=\frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}=\cos 18^\circ.$$

Ответ

а) $$2\cos 20^\circ$$; б) $$\cos 40^\circ-\sin 40^\circ$$; в) $$\sin 50^\circ$$; г) $$\cos 18^\circ$$.