Упр.27.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите (с помощью формул понижения степени): a) sin 22,5°; б) cos 22,5°; в) sin 3пи/8; г) cos 3пи/8.

Используем формулы понижения степени:

$$ \sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}, \qquad \cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}. $$

Так как углы $$22{,}5^\circ$$ и $$\frac{3\pi}{8}$$ лежат в первой четверти, то значения синуса и косинуса положительны.

1. $$\sin 22{,}5^\circ=\sqrt{\sin^2 22{,}5^\circ}=\sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

2. $$\cos 22{,}5^\circ=\sqrt{\cos^2 22{,}5^\circ}=\sqrt{\frac{1+\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

3. $$\sin \frac{3\pi}{8}=\sqrt{\sin^2 \frac{3\pi}{8}}=\sqrt{\frac{1-\cos \frac{3\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

4. $$\cos \frac{3\pi}{8}=\sqrt{\cos^2 \frac{3\pi}{8}}=\sqrt{\frac{1+\cos \frac{3\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

Ответ

$$ \sin 22{,}5^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}, \quad \cos 22{,}5^\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}, \quad \sin \frac{3\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}, \quad \cos \frac{3\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}. $$