Упр.27.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Упростите выражение корень(1 — cos 2t) + корень(1 + cos 2t), если: a) t € [пи/2;пи]; б) t € [3пи/2;2пи]; в) t € [0;пи/2]; г) t € [пи;3пи/2].

Используем формулы:

$$1-\cos 2t=2\sin^2 t,\qquad 1+\cos 2t=2\cos^2 t.$$

Тогда

$$\sqrt{1-\cos 2t}+\sqrt{1+\cos 2t}=\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|.$$

1. Если $$t\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right],$$ то $$\sin t\ge 0,\ \cos t\le 0.$$ Поэтому

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}\sin t-\sqrt{2}\cos t.$$

   $$\sqrt{2}\sin t-\sqrt{2}\cos t=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right)=2\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$

2. Если $$t\in\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right],$$ то $$\sin t\le 0,\ \cos t\ge 0.$$ Поэтому

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=-\sqrt{2}\sin t+\sqrt{2}\cos t.$$

   $$-\sqrt{2}\sin t+\sqrt{2}\cos t=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right).$$

3. Если $$t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ то $$\sin t\ge 0,\ \cos t\ge 0.$$ Поэтому

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}\sin t+\sqrt{2}\cos t.$$

   $$\sqrt{2}\sin t+\sqrt{2}\cos t=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right)=2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

4. Если $$t\in\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right],$$ то $$\sin t\le 0,\ \cos t\le 0.$$ Поэтому

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=-\sqrt{2}\sin t-\sqrt{2}\cos t.$$

   $$-\sqrt{2}\sin t-\sqrt{2}\cos t=-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right)=-2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ

а) $$2\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right);$$ б) $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right);$$ в) $$2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right);$$ г) $$-2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$