Упр.27.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) cos х cos 2x = sin 4x / 4sin x; б) cos x cos 2x cos 4x = sin 8x / 8 sin x; в) sin x cos 2x = sin 4x / 4 cos x; г) sin x cos 2x cos 4x = sin 8x / 8cos x.

1. а) Преобразуем правую часть:

   $$\frac{\sin 4x}{4\sin x}=\frac{2\sin 2x\cos 2x}{4\sin x}=\frac{2\cdot 2\sin x\cos x\cos 2x}{4\sin x}=\cos x\cos 2x.$$

   Тождество доказано.

2. б) Преобразуем правую часть:

   $$\frac{\sin 8x}{8\sin x}=\frac{2\sin 4x\cos 4x}{8\sin x}=\frac{2\cdot 2\sin 2x\cos 2x\cos 4x}{8\sin x}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x}{8\sin x}=\cos x\cos 2x\cos 4x.$$

   Тождество доказано.

3. в) Преобразуем правую часть:

   $$\frac{\sin 4x}{4\cos x}=\frac{2\sin 2x\cos 2x}{4\cos x}=\frac{2\cdot 2\sin x\cos x\cos 2x}{4\cos x}=\sin x\cos 2x.$$

   Тождество доказано.

4. г) Преобразуем правую часть:

   $$\frac{\sin 8x}{8\cos x}=\frac{2\sin 4x\cos 4x}{8\cos x}=\frac{2\cdot 2\sin 2x\cos 2x\cos 4x}{8\cos x}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x}{8\cos x}=\sin x\cos 2x\cos 4x.$$

   Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos x\cos 2x=\frac{\sin 4x}{4\sin x}$$; б) $$\cos x\cos 2x\cos 4x=\frac{\sin 8x}{8\sin x}$$; в) $$\sin x\cos 2x=\frac{\sin 4x}{4\cos x}$$; г) $$\sin x\cos 2x\cos 4x=\frac{\sin 8x}{8\cos x}$$.