Упр.27.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) cos2 t — cos2 (пи/4 -t) = 1/корень2 sin(пи/4 — 2t); б) sin2 t — sin2 (пи/4 -t) = 1/корень2 sin(2t — пи/4).
а) Преобразуем левую часть, используя формулы понижения степени и формулу косинуса разности:
$$ \cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1+\cos 2t}{2}-\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)}{2} $$
$$ =\frac{1}{2}\left(\cos 2t-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)\right) $$
Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)=\sin 2t,$$ получаем
$$ \frac{1}{2}\left(\cos 2t-\sin 2t\right). $$
Теперь преобразуем правую часть:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos 2t-\cos\frac{\pi}{4}\sin 2t\right) $$
$$ =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2t-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2t\right) =\frac{1}{2}\left(\cos 2t-\sin 2t\right). $$
Следовательно,
$$ \cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right). $$
б) Аналогично преобразуем левую часть:
$$ \sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1-\cos 2t}{2}-\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)}{2} $$
$$ =\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)-\cos 2t\right). $$
Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)=\sin 2t,$$ имеем
$$ \frac{1}{2}\left(\sin 2t-\cos 2t\right). $$
Преобразуем правую часть:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin 2t\cos\frac{\pi}{4}-\cos 2t\sin\frac{\pi}{4}\right) $$
$$ =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2t-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2t\right) =\frac{1}{2}\left(\sin 2t-\cos 2t\right). $$
Следовательно,
$$ \sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right). $$
Ответ
$$ \cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right), $$
$$ \sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right). $$
