Упр.27.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (1 — cos 2t + sin 2t) / (1 + cos 2t + sin 2t) = tg t; б) (1 + cos 2t — sin 2t) / (1 + cos 2t + sin 2t) = tg (пи/4 -t).

Подробный ответ

а) Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы:

$$\cos 2t=1-2\sin^2 t,\qquad \sin 2t=2\sin t\cos t,\qquad \cos 2t=2\cos^2 t-1.$$

Тогда

$$ \frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \frac{1-(1-2\sin^2 t)+2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t+(2\cos^2 t-1)} $$

$$ = \frac{2\sin^2 t+2\sin t\cos t}{2\cos^2 t+2\sin t\cos t} = \frac{2\sin t(\sin t+\cos t)}{2\cos t(\cos t+\sin t)} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tg t. $$

Следовательно, тождество доказано.

б) Аналогично преобразуем выражение:

$$ \frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \frac{1+(2\cos^2 t-1)-2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t+(2\cos^2 t-1)} $$

$$ = \frac{2\cos^2 t-2\sin t\cos t}{2\cos^2 t+2\sin t\cos t} = \frac{2\cos t(\cos t-\sin t)}{2\cos t(\cos t+\sin t)} = \frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}. $$

Теперь используем формулу

$$ \tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1-\tg t}{1+\tg t} =\frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}. $$

Значит,

$$ \frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right). $$

Тождество доказано.