Упр.27.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 2t / (1 + cos 2t) * cos t / (1 + cos t) = tg t/2; б) sin 2t / (1 + cos 2t) * cos t / (1 + cos t) * cos t/2 / (1 + cos t/2) = tg t/4.

Подробный ответ

а)

$$ \frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t} = \frac{2\sin t\cos t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t} $$

Так как $$1+\cos 2t=2\cos^2 t,$$ то

$$ \frac{2\sin t\cos t}{2\cos^2 t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t} = \frac{\sin t}{\cos t}\cdot \frac{1}{1+\cos t} $$

Используем формулу $$1+\cos t=2\cos^2 \frac t2,$$ а также $$\sin t=2\sin \frac t2 \cos \frac t2,$$ тогда

$$ \frac{\sin t}{1+\cos t} = \frac{2\sin \frac t2 \cos \frac t2}{2\cos^2 \frac t2} = \frac{\sin \frac t2}{\cos \frac t2} = \tg \frac t2 $$

Следовательно,
$$ \frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}=\tg \frac t2. $$

б)

$$ \frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}\cdot \frac{\cos \frac t2}{1+\cos \frac t2} $$

По аналогии с пунктом а):
$$ \frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}=\tg \frac t2. $$
Тогда

$$ \tg \frac t2\cdot \frac{\cos \frac t2}{1+\cos \frac t2} $$

Преобразуем:
$$ \tg \frac t2\cdot \frac{\cos \frac t2}{1+\cos \frac t2} = \frac{\sin \frac t2}{\cos \frac t2}\cdot \frac{\cos \frac t2}{1+\cos \frac t2} = \frac{\sin \frac t2}{1+\cos \frac t2} $$

Используем формулы
$$ \sin \frac t2=2\sin \frac t4 \cos \frac t4,\qquad 1+\cos \frac t2=2\cos^2 \frac t4. $$
Тогда

$$ \frac{\sin \frac t2}{1+\cos \frac t2} = \frac{2\sin \frac t4 \cos \frac t4}{2\cos^2 \frac t4} = \frac{\sin \frac t4}{\cos \frac t4} = \tg \frac t4. $$

Тождество доказано.