Упр.27.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) cos 2t / (sin t cos t + sin2 t) = ctg (пи + t) — 1; б) (sin 2t — 2sin (пи/2 — t)) / (cos (пи/2 — t) — sin2 t) = -2ctg t; в) (ctg t — tg t)sin 2t = 2cos 2t; г) tg (пи/2 — t) (1 — cos 2t + sin 2t)/(1 + cos 2t + sin 2t) = 1.

1. а)

   $$\frac{\cos 2t}{\sin t\cdot \cos t+\sin^2 t}=\frac{\cos^2 t-\sin^2 t}{\sin t(\cos t+\sin t)}=\frac{(\cos t-\sin t)(\cos t+\sin t)}{\sin t(\cos t+\sin t)}$$
   $$=\frac{\cos t-\sin t}{\sin t}=\frac{\cos t}{\sin t}-1=\ctg t-1.$$
   Так как $$\ctg(\pi+t)=\ctg t,$$ то
   $$\ctg(\pi+t)-1=\ctg t-1.$$
   Следовательно, тождество верно.

2. б)

   $$\frac{\sin 2t-2\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\sin^2 t} =\frac{2\sin t\cos t-2\cos t}{\sin t-\sin^2 t}$$
   $$=\frac{2\cos t(\sin t-1)}{\sin t(1-\sin t)} =-2\frac{\cos t}{\sin t} =-2\ctg t.$$

3. в)

   $$\left(\ctg t-\tg t\right)\sin 2t=\left(\frac{\cos t}{\sin t}-\frac{\sin t}{\cos t}\right)\cdot 2\sin t\cos t$$
   $$=\frac{\cos^2 t-\sin^2 t}{\sin t\cos t}\cdot 2\sin t\cos t =2(\cos^2 t-\sin^2 t)=2\cos 2t.$$

4. г)

   $$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}\cdot \tg\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=1.$$
   Используем формулы
   $$1-\cos 2t=2\sin^2 t,\qquad 1+\cos 2t=2\cos^2 t,\qquad \sin 2t=2\sin t\cos t,$$
   а также
   $$\tg\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}.$$
   Тогда
   $$\frac{2\sin^2 t+2\sin t\cos t}{2\cos^2 t+2\sin t\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t} =\frac{2\sin t(\sin t+\cos t)}{2\cos t(\cos t+\sin t)}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}=1.$$

Ответ

а) $$\ctg(\pi+t)-1$$; б) $$-2\ctg t$$; в) $$2\cos 2t$$; г) $$1$$.