Упр.27.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 1 + sin a = 2cos2 (45° — а/2); б) 2sin2 (45° — a) + sin 2а = 1; в) 1 — sin a = 2sin2 (45° — а/2); г) 2cos2 (45° — a) + sin 2а = 1.

1. $$1+\sin a=2\cos^2\left(45^\circ-\frac a2\right)$$

   $$2\cos^2\left(45^\circ-\frac a2\right)=1+\cos\left(2\cdot45^\circ-a\right)=1+\cos(90^\circ-a)=1+\sin a.$$

   Тождество доказано.

2. $$2\sin^2(45^\circ-a)+\sin2a=1$$

   $$2\sin^2(45^\circ-a)=1-\cos\left(2\cdot45^\circ-2a\right)=1-\cos(90^\circ-2a)=1-\sin2a.$$

   Тогда
   $$2\sin^2(45^\circ-a)+\sin2a=1-\sin2a+\sin2a=1.$$

   Тождество доказано.

3. $$1-\sin a=2\sin^2\left(45^\circ-\frac a2\right)$$

   $$2\sin^2\left(45^\circ-\frac a2\right)=1-\cos\left(2\cdot45^\circ-a\right)=1-\cos(90^\circ-a)=1-\sin a.$$

   Тождество доказано.

4. $$2\cos^2(45^\circ+a)+\sin2a=1$$

   $$2\cos^2(45^\circ+a)=1+\cos\left(2\cdot45^\circ+2a\right)=1+\cos(90^\circ+2a)=1-\sin2a.$$

   Тогда
   $$2\cos^2(45^\circ+a)+\sin2a=1-\sin2a+\sin2a=1.$$

   Тождество доказано.

Ответ

Все четыре равенства являются тождествами.