Упр.27.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) cos2 3t = (1 + sin (пи/2 -6t) / 2; б) (1 — cos t)/(1 + cos t) = tg2 t/2; в) sin2 (3пи/4 + 2t) = (1 — sin 4t)/2; г) (1 — cos t) / sin t = tg t/2.

1. а)

   $$\cos^2 3t=\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2}$$

   Преобразуем правую часть:
   $$\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2}=\frac{1+\cos 6t}{2}=\frac{1+\cos(2\cdot 3t)}{2}=\cos^2 3t.$$

   Тождество доказано.

2. б)

   $$\frac{1-\cos t}{1+\cos t}=\tg^2\frac{t}{2}$$

   Преобразуем левую часть:
   $$ \frac{1-\cos t}{1+\cos t} = \frac{\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}-\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} {\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}+\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} = \frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\cos^2\frac{t}{2}} = \tg^2\frac{t}{2}. $$

   Тождество доказано.

3. в)

   $$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}+2t\right)=\frac{1-\sin 4t}{2}$$

   Преобразуем левую часть:
   $$ \sin^2\left(\frac{3\pi}{4}+2t\right) = \frac{1-\cos\left(2\cdot\frac{3\pi}{4}+2\cdot 2t\right)}{2} = \frac{1-\cos\left(\frac{3\pi}{2}+4t\right)}{2} = \frac{1-\sin 4t}{2}. $$

   Тождество доказано.

4. г)

   $$\frac{1-\cos t}{\sin t}=\tg\frac{t}{2}$$

   Преобразуем левую часть:
   $$ \frac{1-\cos t}{\sin t} = \frac{\cos^2\frac{t}{2}+\sin^2\frac{t}{2}-\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}} = \frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}} = \tg\frac{t}{2}. $$

   Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos^2 3t=\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2}$$

б) $$\frac{1-\cos t}{1+\cos t}=\tg^2\frac{t}{2}$$

в) $$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}+2t\right)=\frac{1-\sin 4t}{2}$$

г) $$\frac{1-\cos t}{\sin t}=\tg\frac{t}{2}$$