Упр.26.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Упростите выражение: a) sin (90° — a) + cos (180° + a) + tg (270° + a) + ctg (360° + a); б) sin (пи/2 + t) — cos (пи — t) + tg (пи — t) + ctg (5пи/2 — t).

Подробный ответ

Используем формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,$$
$$\cos(\pi+x)=-\cos x,$$
$$\tg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\ctg x,$$
$$\ctg(2\pi+x)=\ctg x,$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,$$
$$\cos(\pi-x)=-\cos x,$$
$$\tg(\pi-x)=-\tg x,$$
$$\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-x\right)=\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tg x.$$

а)

$$ \sin(90^\circ-a)+\cos(180^\circ+a)+\tg(270^\circ+a)+\ctg(360^\circ+a) $$
$$ =\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)+\cos(\pi+a)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)+\ctg(2\pi+a) $$
$$ =\cos a-\cos a-\ctg a+\ctg a=0. $$

б)

$$ \sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(\pi-t)+\tg(\pi-t)+\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-t\right) $$
$$ =\cos t-(-\cos t)-\tg t+\tg t $$
$$ =\cos t+\cos t=2\cos t. $$