Упр.26.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: a) у = arcsin (sin х); б) у = arcsin (cos х).

а) Рассмотрим функцию $$y=\arcsin(\sin x).$$

Она периодическая с периодом $$T=2\pi$$, так как

$$y(x+2\pi)=\arcsin(\sin(x+2\pi))=\arcsin(\sin x)=y(x).$$

Кроме того, функция нечётная:

$$y(-x)=\arcsin(\sin(-x))=\arcsin(-\sin x)=-\arcsin(\sin x)=-y(x).$$

На отрезке $$0\le x\le \frac{\pi}{2}$$ имеем

$$y=\arcsin(\sin x)=x.$$

На отрезке $$\frac{\pi}{2}\le x\le \pi$$ получаем

$$y=\arcsin(\sin x)=\arcsin(\sin(\pi-x))=\pi-x.$$

Значит, на промежутке $$[0;\pi]$$ график состоит из двух отрезков:

$$ y= \begin{cases} x, & 0\le x\le \frac{\pi}{2},\\ \pi-x, & \frac{\pi}{2}\le x\le \pi. \end{cases} $$

Далее график продолжается по нечётности и периодичности с периодом $$2\pi$$.

б) Рассмотрим функцию $$y=\arcsin(\cos x).$$

Она периодическая с периодом $$T=2\pi$$:

$$y(x+2\pi)=\arcsin(\cos(x+2\pi))=\arcsin(\cos x)=y(x).$$

Функция чётная:

$$y(-x)=\arcsin(\cos(-x))=\arcsin(\cos x)=y(x).$$

На отрезке $$0\le x\le \pi$$ можно записать

$$\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right),$$

поэтому

$$y=\arcsin(\cos x)=\arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x.$$

Следовательно, на $$[0;\pi]$$ график — отрезок прямой

$$y=\frac{\pi}{2}-x,\quad 0\le x\le \pi.$$

Далее график продолжается по чётности и периодичности с периодом $$2\pi$$.

Ответ

а) $$y=\arcsin(\sin x)$$ — периодическая с периодом $$2\pi$$, нечётная; на $$[0;\pi]$$:
$$ y= \begin{cases} x, & 0\le x\le \frac{\pi}{2},\\ \pi-x, & \frac{\pi}{2}\le x\le \pi. \end{cases} $$

б) $$y=\arcsin(\cos x)$$ — периодическая с периодом $$2\pi$$, чётная; на $$[0;\pi]$$:
$$y=\frac{\pi}{2}-x.$$