Упр.26.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) arcsin (-cos 4пи/5); б) arccos (cos (-24пи/5)); в) arctg (ctg (-21пи/5)); г) arcctg (tg (27пи/7)).

Подробный ответ

Используем определения обратных тригонометрических функций и приводим аргументы к значениям из областей их определения.

а)

$$ \arcsin\!\left(-\cos \frac{4\pi}{5}\right) = -\arcsin\!\left(\cos \frac{4\pi}{5}\right) = -\arcsin\!\left(-\sin \frac{3\pi}{10}\right) = \arcsin\!\left(\sin \frac{3\pi}{10}\right) = \frac{3\pi}{10}. $$

б)

$$ \arccos\!\left(\cos\left(-\frac{24\pi}{5}\right)\right) = \arccos\!\left(\cos \frac{24\pi}{5}\right) = \arccos\!\left(\cos\left(4\pi+\frac{4\pi}{5}\right)\right) = \arccos\!\left(\cos \frac{4\pi}{5}\right) = \frac{4\pi}{5}. $$

в)

$$ \arctg\!\left(\ctg\left(-\frac{21\pi}{5}\right)\right) = -\arctg\!\left(\ctg \frac{21\pi}{5}\right) = -\arctg\!\left(\ctg\left(4\pi+\frac{\pi}{5}\right)\right) = -\arctg\!\left(\ctg \frac{\pi}{5}\right) = -\arctg\!\left(\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{10}\right)\right) = -\arctg\!\left(\tg \frac{3\pi}{10}\right) = -\frac{3\pi}{10}. $$

г)

$$ \arcctg\!\left(\tg \frac{27\pi}{7}\right) = \arcctg\!\left(\tg\left(3\pi+\frac{6\pi}{7}\right)\right) = \arcctg\!\left(\tg \frac{6\pi}{7}\right) = \arcctg\!\left(\ctg \frac{9\pi}{14}\right) = \frac{9\pi}{14}. $$